Hogyan oldja meg az x ^ 2 + y ^ 2 = 9 és x-3y = 3 rendszert?

Válasz:

Ennek a rendszernek két megoldása van: a pontok #(3,0)# és #(-12/5, -9/5)#.

Magyarázat:

Ez egy érdekes egyenletrendszer-probléma, mert változónként egynél több megoldást ad.

Miért történik ez az, amit most elemezhetünk. Az első egyenlet a kör sugarának szabványos formája #3#. A második egy kissé rendetlen egyenlet egy sorhoz. Tisztított, így néz ki:

#y = 1/3 x - 1 #

Tehát természetesen, ha úgy véljük, hogy a rendszer megoldása olyan pont lesz, ahol a vonal és a kör keresztezi egymást, nem kell meglepődnünk, hogy megtudjuk, hogy két megoldás lesz. Az egyik, amikor a vonal belép a körbe, és egy másik, amikor elhagyja. Tekintse meg ezt a grafikonot:

grafikon {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Először a második egyenlet manipulálásával kezdjük:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Ezt közvetlenül az első megoldandó egyenletbe illeszthetjük be # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlet két megoldással rendelkezik. Egy a #y = 0 # és egy másik # 9 + 5y = 0 # ami azt jelenti #y = -9 / 5 #.

Most megoldhatjuk a #x# mindegyiknél # Y # értékeket.

Ha # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Ha #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

A két megoldás tehát a következő pontok: #(3,0)# és #(-12/5, -9/5)#. Ha visszatekintünk a grafikonra, láthatjuk, hogy ezek egyértelműen megfelelnek a két pontnak, amelyeken a vonal átlépte a kört.