Mik az f (x) = (x-2) (x-5) ^ 3 + 12in [1,4] abszolút extrémája?

Válasz:

Helyi minimumok. jelentése #-2187/128.#

Globális minimumok#=-2187/128~=-17.09.#

Globális Maxima #=64.#

Magyarázat:

Extrém, #f '(x) = 0. #

#f '(x) = (X-2) * 3 (x-5) ^ 2 + (X-5) ^ 3 * 1 = (X-5) ^ 2 {3x-6 + x-5 = (4x-11) (X-5) ^ 2. #

#f '(x) = 0 rArr x = 5! 1,4, # így nincs szükség további érdeklődésre és # X = 11/4 #

#f '(x) = (4x-11) (x-5) ^ 2, rArr f' '(x) = (4x-11) * 2 (x-5) + (x-5) ^ 2 * 4 = 2 (x-5) {4x-11 + 2x-10} = 2 (x-5) (6x-21). #

Most, #f '' (11/4) = 2 (11 / 4-5) (33 / 2-21) = 2 (-9/4) (- 9/2)> 0, # azt mutatja, hogy #f (11/4) = (11 / 4-2) (11 / 4-5) ^ 3 = (3/2) (- 9/4) ^ 3 = -2187/128, # jelentése Helyi minimumok.

Globális értékek megtalálásához szükségünk van #f (1) = (1-2) (1-5) ^ 3 = 64, # & #f (4) = (4-2) (4-5) ^ 3 = -2. #

Ennélfogva, Globális minimumok # = Min # {helyi minimumok, #f (1), f (4)} = min {-2187 / 128,64, -2} = min {-17.09, 64, -2} = - 2187/128 ~ = -17,09 #

Globális Maxima # = Max # {local maxima (ami nem létezik), #f (1), f (4)} = max {64, -2} = 64. #