Hogyan oldható meg a 3sin2x + 2cos2x = 3? Lehet-e átalakítani sinx = k-re?

Válasz:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # vagy #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

vagy ha inkább közelítést szeretne, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # vagy #x kb. 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #

természetesen egész számra # K #.

Magyarázat:

Pro tipp: Jobb, ha ezeket az űrlapra kell fordítani #cos x = cos a # amely megoldásokat tartalmaz #x = pm a + 360 ^ circ k quad # egész számra # K #.

Ez most már megtörtént # # 2x így könnyebb így hagyni.

A szinusz és az azonos szög kosinusának lineáris kombinációi a fáziseltolódások.

# 3 sin (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# xrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

Hagyjuk # theta = arctan (3/2) kb. 56,31 ^ kör

Tényleg azt értjük, az első negyedben.

(Ha szinuszot akarunk tenni a kosinusz helyett, mint amit csinálunk, használnánk #arctan (2/3) #.)

Nekünk van #cos theta = 2 / sqrt {13} # és #sin theta = 3 / sqrt {13}.

# cos theta cos (2x) + béta theta sin (2x) = bűn theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circeta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ circeta) + 360 ^ circ k #

# 2x = theta pm (90 ^ circeta) + 360 ^ circ k #

# x = theta / 2 óra (45 ^ circ - theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # vagy #x = theta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # vagy #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Mivel #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # vagy #x kb. 11,31 ^ circ + 180 ^ circ k #