Melyek az f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y extrém és nyeregpontok?

Válasz:

Egy szélsőség van #(3,3,27)#

Nekünk van:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

És így származtatjuk a részleges származékokat:

# (részleges f) / (részleges x) = y - 27 / x ^ 2 t és (részleges f) / (részleges y) = x - 27 / y ^ 2 #

Egy szélsőséges vagy nyeregpontban van:

# (részleges f) / (részleges x) = 0 t és # (részleges f) / (részleges y) = 0 t egyidejűleg:

azaz a következők egyidejű megoldása:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Ezen egyenletek kivonása:

# ^ ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. X = 0; y = 0; x = y #

Megszüntethetjük # x = 0; y = 0 # és aztán # X = y # az egyetlen érvényes megoldás, amely a következőket eredményezi:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

És a # X = y = 3 #, nekünk van:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Ennélfogva csak egy kritikus pont fordul elő a (3,3,27) -en, ami látható ezen a grafikonon (amely magában foglalja a tangens síkot)