Mutassa meg, hogy int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Válasz:

Lásd a magyarázatot

Magyarázat:

Meg akarjuk mutatni

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Ez egy egészen "csúnya" integrál, így a mi megközelítésünk nem lesz az integrál megoldása, hanem hasonlítsa össze a "szebb" integrálhoz

Most, hogy minden pozitív valós számra #COLOR (piros) (sin (x) <= x) #

Így az integrand értéke is nagyobb lesz, minden pozitív valós szám esetén, ha helyettesítjük # X = sin (x) #, tehát ha megmutatjuk

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Az első kijelentésünknek igaznak kell lennie

Az új integrál egyszerű helyettesítési probléma

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Az utolsó lépés az, hogy ezt észrevesszük #sin (x) = x => x = 0 #

Ezért következtethetünk

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #