Válasz:
A fennmaradó rész #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # által # (X-k) # jelentése #f (k) #, így megoldani #f (k) = 9 # a racionális gyökér tétel és faktoring használatával:
#k = 1/2, -2 # vagy #-3#
Magyarázat:
Ha megpróbálja megosztani #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # által # X-k # végül egy maradék #f (k) #…
Tehát, ha a maradék #9#, alapvetően megpróbálunk megoldani #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
levon #9# mindkét oldalról:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
A racionális gyökér-tétel szerint a kocka minden racionális gyökere lesz a formában # P / q # a legalacsonyabb értelemben, ahol #p, q ZZ-ben, #q! = 0 #, # P # az állandó kifejezés osztója #-6# és # Q # az együttható megosztója #2# a vezető kifejezés.
Ez azt jelenti, hogy a lehetséges racionális gyökerek:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Próbáljuk meg az elsőt:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
így #k = 1/2 # egy gyökér és # (2k-1) # tényező.
Oszd el # (2k-1) # megtalálni:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
Tehát a lehetséges megoldások a következők:
#k = 1/2 #, #k = -2 # és #k = -3 #
