Hogyan találja meg a négyzetes egyenlet csúcsát?

Válasz:

Használja a képletet # -B / (2a) # az x koordinátára, majd csatlakoztassa azt az y kereséséhez.

Magyarázat:

Egy négyzetes egyenlet van írva # Ax ^ 2 + bx + c # standard formában. És a csúcsot a képlet segítségével lehet megtalálni # -B / (2a) #.

Tegyük fel például, hogy problémánk az, hogy kiderítsük a négyzetes egyenlet csúcsát (x, y) # X ^ 2 + 2x-3 #.

1) Értékelje az a, b és c értékeit. Ebben a példában a = 1, b = 2 és c = -3

2) Csatlakoztassa az értékeit a képlethez # -B / (2a) #. Ehhez a példához kapsz #-2/(2*1)# amely egyszerűsíthető -1-re.

3) Csak megtalálta a csúcs x koordinátáját! Most csatlakoztassa a -1-et az x egyenlethez, hogy megtudja az y-koordinátát.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) A fenti egyenlet leegyszerűsítése után: 1-2-3, ami -4.

6) A végső válasz (-1, -4)!

Remélem, hogy segített.

Válasz:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # van egy csúcspontja # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Magyarázat:

Fontolja meg az általános négyzetes kifejezést:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

és a hozzá tartozó egyenlet #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Gyökerekkel, # Alfa # és # # Beta.

Tudjuk (Szimmetriával - lásd alább az igazolásért), hogy a csúcs (akár a maximális, akár a minimális) a két gyökér közepe, a #x#a csúcs koordinátája:

# x_1 = (alfa + béta) / 2 #

Emlékeztetni kell azonban a jól tanulmányozott tulajdonságokra:

# {: ("gyökerek összege", = alfa + béta, = -b / a) ("gyökértermék", = alfabéta, = c / a):} #

És így:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Adjon nekünk:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

És így:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # van egy csúcspontja # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Középpont bizonyítása:

Ha van

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Ezután megkülönböztetjük a wrt-t #x#:

# f '(x) = 2ax + b #

Kritikus ponton az első származék, #f '(x) # eltűnik, ami megköveteli, hogy:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) t QED