Legyen 5a + 12b és 12a + 5b egy derékszögű háromszög oldalhossza, a 13a + kb pedig a hypotenuse, ahol a, b és k pozitív egész számok. Hogyan találja meg a k legkisebb lehetséges értékét és a k és a b legkisebb értékeit?

Válasz:

#k = 10 #, # A = 69 #, # B = 20 #

Magyarázat:

Pythagoras-tétel szerint:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

Ez az:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (fehér) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

A bal oldali rész mindkét végén kivonja a következőt:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (fehér) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

Mivel #b> 0 # követeljük:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

Akkor azóta #a, b> 0 # szükségünk van rá # (240-26k) # és # (169-k ^ 2) # ellenkező jelei vannak.

Amikor #k 1, 9 # mindkét # # 240-26k és # 169-K ^ 2 # pozitívak.

Amikor #k 10, 12 # találunk # 240-26k <0 # és # 169-k ^ 2> 0 # szükség szerint.

Tehát a minimális lehetséges érték # K # jelentése #10#.

Azután:

# -20a + 69b = 0 #

Akkor azóta #20# és #69# nincs közös tényezője nagyobb, mint #1#, a minimális értékek # A # és # B # vannak #69# és #20# illetőleg.