Bizonyítsuk be az indukcióval, hogy f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) osztható 5-re n-re ZZ ^ + -nál?

Válasz:

Lásd lentebb.

Ne feledje, hogy # M # furcsa van

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

ami bizonyítja a megerősítést.

Most véges indukcióval.

mert #n = 1 #

#2+3 = 5# ami osztható.

most azt feltételezve

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # osztható van

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = #

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # ami osztható #5#

így igaz.