Válasz:
Konverziók # 1 + i # (a Ti-83 grafikonon)
Magyarázat:
enged # S = qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + …}}}}} #
Először is, feltételezve, hogy ez a végtelen sorozat konvergál (azaz feltételezzük, hogy S létezik és egy komplex szám értékét veszi fel), # S ^ 2 = -2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + …}}}} # #
# S ^ 2 + 2 = 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + …}}}} # #
# {{S ^ 2 + 2} {2} = qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2
# {{S ^ 2 + 2} {2} = S #
És ha megoldja az S-t:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
és a kvadratikus képlet alkalmazása:
# S = fr {2} qrt {4-8}} {2} = frac {2} qrt {-4}} {2} = fr {2} 2i} {2} = 1 # i
Általában a négyzetgyök funkció a pozitív értéket veszi fel # S = 1 + i #
Tehát, ha konvergens, akkor hozzá kell közelítenie # 1 + i #
Most mindössze annyit kell tenned, hogy bebizonyítod, hogy konvergens vagy ha lusta vagy, mint én, akkor dugaszolhatsz # qrt {-2} # egy számológépbe, amely képes a képzeletbeli számok kezelésére és az ismétlődési viszony használatára:
# f (1) = qrt {-2} #
# f (n + 1) = qrt {-2 + 2qrt {f (n)} #
Ezt sokszor megismételtem a Ti-83-on, és megállapítottam, hogy közelebb kerül, például miután megismételte valahol, mint 20-szor
# 1,000694478 + 1.001394137i #
elég jó közelítés
