Tegyük fel, hogy K és L két különböz o al-tér igazi vektorterület V. Ha halvány (K) = halvány (L) = 4, hogyan lehet a minimális méreteket meghatározni az V?

Válasz:

5

Magyarázat:

Legyen a négy vektor # K_1, k_2, k_3 # és # # K_4 a vektor tér alapját képezik # K #. Mivel # K # egy. t # V #, ezek a négy vektor lineárisan független # V #. Mivel # L # egy. t # V # különböző # K #, legalább egy elemnek kell lennie, mondjuk # # L_1 ban ben # L #, ami nincs benne # K #, azaz amely nem egy lineáris kombinációja # K_1, k_2, k_3 # és # # K_4.

Szóval, a készlet # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # a vektorok lineáris független halmaza # V #. Így a # V # legalább 5!

Valójában lehetséges, hogy a # {K_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # a teljes vektor tér # V # - úgy, hogy az alapvektorok minimális száma 5 legyen.

Csak egy példa, hagyd # V # lenni # RR ^ 5 # és hagyd # K # és # V # az űrlapok vektorjaiból áll

# ((alfa), (béta), (gamma), (delta), (0)) és # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Könnyen látható, hogy a vektorok

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#és #((0),(0),(0),(0),(0))#

alapját képezik # K #. Add hozzá a vektorot #((0),(0),(0),(0),(0))#, és alapot fog kapni a teljes vektorterületre,