Melyek a különböző számok oszthatóságának vizsgálatai?

Sok oszthatósági teszt van. Íme néhány, együtt azzal, hogyan lehet őket levonni.

• Egy egész szám osztható #2# ha az utolsó számjegy egyenletes.

• Egy egész szám osztható #3# ha a számjegyek összege osztható 3-mal.

• Egy egész szám osztható #4# ha az utolsó két számjegy által alkotott egész szám osztható 4-vel.

• Egy egész szám osztható #5# ha az utolsó számjegy 5 vagy 0.

• Egy egész szám osztható #6# ha osztható 2-vel és 3-mal.

• Egy egész szám osztható #7# ha az utolsó számjegy utolsó számjegyének kétszerese kivonása az utolsó számjegy eltávolításával keletkezett számból, akkor 7-szerese.

• Egy egész szám osztható #8# ha az utolsó három számjegy által alkotott egész szám osztható 8-tal (ezt megkönnyítheti azzal, hogy megjegyzi, hogy a szabály ugyanaz, mint a 4-eseknél, ha a több száz számjegy egyenlő, és ellenkező esetben más)

• Egy egész szám osztható #9# ha a számjegyek összege osztható 9-el.

• Egy egész szám osztható #10# ha az utolsó számjegy #0#

Ezekre és többre nézd meg a wikipedia oldalt az eloszthatósági szabályokról.

Most már csodálkozhatunk arról, hogy hogyan jöjjön létre ezek a szabályok, vagy legalábbis azt mutatják, hogy ténylegesen működnek. Ennek egyik módja a moduláris aritmetikának nevezett matematika.

A moduláris aritmetikában egy egész számot választunk # N # mint a modulus majd minden más egész számot kezeljünk kongruens modulo # N # a fennmaradó részre osztva # N #. Egy egyszerű módja annak, hogy elgondolkodhasson azzal, hogy hozzáadhat vagy kivonhat # N # anélkül, hogy megváltoztatnánk egy egész modulo n értéket. Ez ugyanaz, mint egy analóg óra esetén, ha tizenkét órát adunk hozzá egy időben. Óránként óra hozzáadása hozzáadódik a modulóhoz #12#.

Ami a moduláris aritmetikát nagyon hasznosnak ítéli az oszthatósági szabályok meghatározásában, az az, hogy bármilyen egész szám # A # és pozitív egész szám # B #, azt mondhatjuk # A # osztható # B # ha, és csak akkor ha

# a- = 0 "(mod b)" # (# A # egybeesik #0# modulo # B #).

Használjuk ezt, hogy lássuk, miért az oszthatósági szabály az #3# művek. Ezt egy példán keresztül fogjuk megtenni, amely az általános fogalmat mutatja. Ebben a példában meglátjuk miért #53412# osztható #3#. Ne feledje, hogy hozzáadás vagy kivonás #3# nem módosítja az egész modulo értékét #3#.

#53412# osztható #3# ha, és csak akkor ha # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

De azért is, mert #10 -3 -3 -3 = 1#, nekünk van # 10 - = 1 "(mod 3)" #

És így:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (piros) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

És így #53412# osztható #3#. A piros lépés megmutatja, hogy miért egyszerűen összegezzük a számjegyeket, és ellenőrizzük, hogy ahelyett, hogy megpróbálnánk megosztani az eredeti számot #3#.