Hogyan találja meg az y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) aszimptotáit?

Válasz:

Függőleges

# X = 1 #

# X = 3 #

Vízszintes

# X = 1 # (mindkettőnek # + - oo #)

Ferde

Nem létezik

Magyarázat:

enged # Y = f (x) #

• Függőleges aszimptoták

Keresse meg a függvény határait, mivel az a végtelenség kivételével a tartományának határaira hajlamos. Ha az eredmény végtelen, mint ez #x# vonal aszimptot. Itt a domain:

#x -ban (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Tehát a 4 lehetséges a függőleges aszimptoták:

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

asymptote # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (X-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Függőleges aszimptóta # X = 1 #

Megjegyzés: a # X-1 # mivel #x# valamivel kisebb, mint 1, az eredmény valamivel kisebb lesz, mint 0, így a jel negatív lesz, ezért a megjegyzés #0^-# amely később negatív jelet jelent.

Az aszimptóta megerősítése # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (X-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -OO # Megerősített

asymptote # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (X-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -OO # Függőleges aszimptóta # X = 3 #

Az aszimptóta megerősítése # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (X-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Megerősített

• Vízszintes aszimptoták

Keresse meg mindkét határt, ahogy a funkció hajlamos # + - oo #

Mínusz végtelen #X -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (X-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / X-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (megszünteti (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (megszünteti (x ^ 2) (1-4 / X-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / X-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Vízszintes aszimptóta # Y = 1 #

Plusz végtelen #X -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (X-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / X-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (megszünteti (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (megszünteti (x ^ 2) (1-4 / X-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / X-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Vízszintes aszimptóta # Y = 1 #

Megjegyzés: ez csak úgy történik, hogy ez a funkció mindkettő számára közös vízszintes # # -OO és # + Oo #. Mindig ellenőrizze mindkettőt.

• Ferde aszimptóták

Először mindkét határt meg kell találnia:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Mindegyik esetében, ha ez a határérték valós szám, akkor az aszimptóta létezik, és a határ a lejtője. A # Y # mindegyik elkapása a határ:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Azonban, hogy megmentse bennünket a baj, használhat valamilyen funkciót "tudás", hogy ezt elkerülje. Mivel tudjuk #f (X) # mindkét számára vízszintes aszimptotikus # + - oo # az egyik módja annak, hogy egy ferde egy másik vonal legyen #X -> + - oo #. Azonban, #f (X) # egy #1-1# így nem lehet kettő # Y # értékeket #x#így egy második vonal lehetetlen, így lehetetlen, hogy ferde aszimptóták legyenek.