Ha egy gömb sugara 4 cm / másodperc sebességgel növekszik, mennyire gyorsul a térfogat 80 cm-es átmérő esetén?

Válasz:

12,800cm3s

Magyarázat:

Ez egy klasszikus kapcsolódó árak problémája. A kapcsolódó árak elképzelése, hogy van egy geometriai modellje, amely nem változik, még akkor sem, ha a számok megváltoznak.

Például ez az alak gömb marad, még akkor is, ha megváltoztatja a méretét. A térfogat és a sugara közötti kapcsolat

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

Mindaddig, amíg ez geometriai kapcsolat nem változik, ahogy a gömb növekszik, akkor ezt a kapcsolatot implicit módon tudjuk levezetni, és új összefüggést találunk a változási arányok között.

Az implicit differenciálódás az, ahol minden változót a képletben nyerünk, és ebben az esetben a képletet az idő tekintetében kapjuk meg.

Szóval a szféránk származékát vesszük:

# V = 4 / 3pir ^ 3 #

# (DV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt #

# (DV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

Tényleg adtunk # (Dr) / (dt) #. ez # 4 (cm) / s #.

Érdekelünk abban a pillanatban, amikor a átmérő 80 cm, ami az sugár 40 cm lesz.

A hangerő növekedésének üteme # (DV) / (dt) #, amit keresünk, így:

# (DV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr) / dt #

# (DV) / (dt) = 4pi (40cm) ^ 2 (4 (cm) / s) #

# (DV) / (dt) = 4pi (1600cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (DV) / (dt) = 4pi (1600cm ^ 2) (4 (cm) / s) #

# (DV) / (dt) = 12,800 (cm ^ 3) / s #

És az egységek még helyesen dolgoznak, hiszen egy mennyiséget kell osztanunk az idővel.

Remélem ez segít.