Mit jelent a (3 + i) ^ (1/3) a + bi formában?

Válasz:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + gyökér (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Magyarázat:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alfa) + i sin (alpha)) # hol #alpha = arctan (1/3) #

Így

#root (3) (3 + i) = gyökér (3) (sqrt (10)) (cos (alfa / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = gyökér (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = gyökér (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + gyökér (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

Mivel # 3 + i # a Q1, ez a fő kocka gyökere # 3 + i # az első negyedévben is.

A másik két kocka gyökere # 3 + i # a primitív összetett kocka gyökér egységből állnak #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (gyökér (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + gyökér (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = gyökér (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + gyökér (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) i #

# omega ^ 2 (gyökér (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + gyökér (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = gyökér (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + gyökér (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) i #