Hogyan lehet megtalálni az f (x) = 2 sin (3x) + x első deriváltját?

Válasz:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Magyarázat:

Minden kifejezést megkülönböztetni:

# (D (x)) / dx = 1 #

A láncszabályok használata a második ciklusban:

#G (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Val vel:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Együtt van:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Válasz:

Megkérjük, hogy megtaláljuk a (z) #f (x) = 2sin (3x) + x # a definíció használatával: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Magyarázat:

Ki kell értékelnünk:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Ez nehézkes lesz. Ahhoz, hogy kevésbé bonyolultnak tűnjön, szétválasszuk a kifejezést két egyszerűbb részre. A trigonometrikus részt és a lineáris részt külön vesszük.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Feltételezem, hogy megmutathatod, hogy a második határ #1#. A kihívást jelentő határ a trigonometrikus függvények határértéke.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Tehát, amikor a két darabot összeállítjuk, kapjuk:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #