Használja a Rational Zeros Theorem-et a következő polinomi függvény lehetséges nulláinak megkereséséhez: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Válasz:

A lehetséges racionális nullák:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Magyarázat:

Adott:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

A racionális nullákra vonatkozó tétel szerint bármely racionális nulla #f (X) # megjeleníthetők az űrlapon # P / q # egész számokra #p, q # val vel # P # az állandó kifejezés osztója #-35# és # Q # az együttható megosztója #33# a vezető kifejezés.

Az osztók #-35# vannak:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Az osztók #33# vannak:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Tehát a lehetséges racionális nullák:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

vagy növekvő sorrendben:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Ne feledje, hogy ezek csak a racionális lehetőségek. A racionális nullák tétele nem mesél el a lehetséges irracionális vagy komplex nullákról.

Descartes-féle szabályzata alapján megállapíthatjuk, hogy ez a köbös nem rendelkezik negatív nullákkal és #1# vagy #3# pozitív valós nullák.

Tehát az egyetlen lehetséges racionális nullák:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Próbálkozzunk mindegyikével:

#f (1/11) = 33 (szín (kék) (1/11)) ^ 3-245 (szín (kék) (1/11)) ^ 2 + 407 (szín (kék) (1/11)) -35 #

#color (fehér) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (fehér) (f (1/11)) = 0 #

Így # X = 11/01 # nulla és # 11x-1 # tényező:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

A fennmaradó kvadratikus tényezők megítéléséhez AC módszert használhatunk:

Keressen egy pár tényezőt #AC = 3 * 35 = 105 # összeggel # B = 22 #

A pár #15, 7# művek.

Használja ezt a párot a középtáv megosztása, majd a csoportosítás szerint:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (fehér) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (fehér) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Tehát a másik két nulla:

# x = 7/3 "" # és # "" x = 5 #