(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Tegyük meg ???

Válasz:

#a = 1, b = 1 #

Magyarázat:

A hagyományos módszer megoldása

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Most megoldani # A #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # de # A # igaznak kell lennie, hogy a feltétel legyen

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # vagy # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

most helyettesíti és megoldja # A #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # és a megoldás

#a = 1, b = 1 #

Egy másik módja annak is

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

de

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

és megkötés

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Válasz:

D. Pontosan egy megoldáspár van # (a, b) = (1, 1) #

Magyarázat:

Adott:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Ne feledje, hogy ezt egy szimmetrikus homogén problémává tehetjük:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

majd állítsa be # C = 1 # a végén.

Az általánosított probléma mindkét oldalának kiterjesztése:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

A bal oldalt kivéve mindkét oldalról:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (fehér) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (fehér) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

A # A #, # B # és # C #, ez csak akkor tartható fenn, ha az összes # (A-b) #, #(időszámításunk előtt)# és # (C-a) # nulla, és így:

#a = b = c #

Aztán elhelyezés # C = 1 # az egyetlen problémát az eredeti problémára találjuk, nevezetesen # (a, b) = (1, 1) #