Mekkora az f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x abszolút extrémája a [0, pi / 4] -ben?

Válasz:

abszolút max: # (pi / 4, pi / 4) #

abszolút perc: #(0, 0)#

Magyarázat:

Adott: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x itt: 0, pi / 4 #

Keresse meg az első származékot a termékszabály kétszer.

Termékszabály: # (uv) '= uv' + v u '#

enged #u = 2x; "" u '= 2 #

enged #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Az egyenlet második felére:

enged #u = x; "" u '= 1 #

enged #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Egyszerűbb:

#f '(x) = törlés (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x törlés (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

A Pythagorean Identity # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Ez azt jelenti, hogy mikor nincs kritikus érték #f '(x) = 0 #

Abszolút maximum és a minimális értékek a funkció intervallum végpontjainál találhatók.

A függvény végpontjainak tesztelése:

#f (0) = 0; "Abszolút minimum:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Abszolút maximum:" (pi / 4, pi / 4) #