Mi a megfelelő választás az adott kérdésben? ps - 98-t kaptam válaszként, de ez nem helyes (esetleg a hátoldalon adott válasz rossz, u is láthatja és ellenőrizheti a megoldást, a megoldást a kérdés alatt csatoltam)

Válasz:

#98# a helyes válasz.

Magyarázat:

Adott:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

Osztás #4# találunk:

# X ^ 3-7 / 4x ^ 2 + 0x + 1/4 #

# = (x-alfa) (x-béta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + béta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Így:

# {(alfa + béta + gamma = 7/4), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = 0), (alphabetagamma = -1/4):} #

Így:

#49/16 = (7/4)^2-2(0)#

#color (fehér) (49/16) = (alfa + béta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) #

#color (fehér) (49/16) = alfa ^ 2 + béta ^ 2 + gamma ^ 2 #

és:

#7/8 = 0 - 2(-1/4)(7/4)#

#color (fehér) (7/8) = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alfa + béta + gamma) #

#color (fehér) (7/8) = alpha ^ 2beta ^ 2 + béta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2 #

Így:

#49/128 = (7/8)^2-2(-1/4)^2(49/16)#

#color (fehér) (49/128) = (alfa ^ 2beta ^ 2 + béta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) ^ 2-2 (alphabetagamma) ^ 2 (alfa ^ 2 + béta ^ 2 + gamma ^ 2) #

#color (fehér) (49/128) = alfa ^ 4beta ^ 4 + béta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alpha ^ 4 #

Így:

# alfa ^ (- 4) + béta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) = (alfa ^ 4beta ^ 4 + béta ^ 4gamma ^ 4 + gamma ^ 4alfa ^ 4) / (alphabetagamma) ^ 4 #

#color (fehér) (alfa ^ (- 4) + béta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (- 1/4) ^ 4 #

#color (fehér) (alfa ^ (- 4) + béta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = (49/128) / (1/256) #

#color (fehér) (alfa ^ (- 4) + béta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4)) = 98 #

Válasz:

#98#

Magyarázat:

Alternatív megoldásként, plusz csekkként vegye figyelembe, hogy a következők gyökerei:

# 4x ^ 3-7x ^ 2 + 1 = 0 #

a következő gyökerek reciprokjai:

# x ^ 3-7x + 4 = 0 #

Szóval megtaláljuk # Alfa ^ 4 + béta ^ 4 + gamma ^ 4 # ennek a kocka gyökerének a kiszámításához #alpha ^ (- 4) + béta ^ (- 4) + gamma ^ (- 4) # az eredeti kocka gyökereihez.

Adott:

# X ^ 3 + 0x ^ 2-7x-es + 4 #

# = (x-alfa) (x-béta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + béta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

Találunk:

# {(alfa + béta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -7), (alphabetagamma = 4):} #

Így:

# Alfa ^ 2 + béta ^ 2 + y ^ 2 #

# = (alfa + béta + gamma) ^ 2-2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) = 0-2 (-7) = 14 #

# Alfa ^ 2p ^ 2 + béta ^ 2gamma ^ 2 + y ^ 2-alfa ^ 2 #

# = (alphabeta + betagamma + gammaalpha) ^ 2-2alphabetagamma (alfa + béta + gamma) = (-7) ^ 2-2 (4) (0) = 49 #

# Alfa ^ 4 + béta ^ 4 + gamma ^ 4 #

# = (alfa ^ 2 + béta ^ 2 + gamma ^ 2) ^ 2-2 (alfa ^ 2beta ^ 2 + béta ^ 2gamma ^ 2 + gamma ^ 2alpha ^ 2) = 14 ^ 2-2 (49) = 196- 98 = 98 #