Melyek az f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y extrém és nyeregpontjai?

Nem találtam nyeregpontokat, de minimális volt:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Ahhoz, hogy megtaláljuk a szélsőséget, vegye figyelembe a részleges származékot #x# és # Y # hogy mindkét részszármazék egyszerre egyenlő legyen #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Ha egyszerre meg kell egyezniük #0#, alkotják a egyenletrendszer:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Ez lineáris egyenletrendszer, ha levonásra kerül a törléshez # Y #, megadja:

# 3x - 1 = 0 => szín (zöld) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => szín (zöld) (y = -2/3) #

Mivel az egyenletek lineárisak voltak, csak egy kritikus pont volt, tehát csak egy extremum. A második származék megmondja nekünk, hogy ez egy maximum vagy minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Ezek a második részek egyetértenek, így a grafikon konkáv felfelé #x# és # Y # tengely.

Az értéke #f (x, y) # a kritikus pontban (az eredeti egyenlethez való csatlakozással):

#color (zöld) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = szín (zöld) (- 1/3) #

Így van egy minimális nak,-nek #color (kék) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Most, a cross-származékok ellenőrizze a nyeregpontokat, amelyek átlós irányban lehetnek:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Mivel ezek egyaránt egyetértenek, az ellenkező jelek helyett létezik nincs nyeregpont.

Láthatjuk, hogyan néz ki ez a grafikon, hogy ellenőrizze: