Melyek az f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 szélsőségei a [-oo, oo] -nál?

Válasz:

#f (X) # minimális a # X = 2 #

Magyarázat:

Mielőtt továbblépnénk, vegye figyelembe, hogy ez egy felfelé néző parabola, ami azt jelenti, hogy további számítás nélkül tudjuk, hogy nem lesz maximális értéke, és egyetlen csúcsa a csúcsán. A tér kitöltése azt mutatná nekünk #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, megadva a csúcsot, és ezáltal az egyetlen minimumot #x = 2 #. Lássuk, hogy ez hogyan történik a számítással.

Bármely szélsőséges eset egy kritikus ponton vagy az adott intervallum végpontján fordul elő. Mint az adott intervallum # (- oo, oo) # nyitva van, figyelmen kívül hagyhatjuk a végpontok lehetőségét, és ezért először azonosítjuk a függvény kritikus pontjait, azaz azt a pontot, ahol a függvény származéka #0# vagy nem létezik.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Ennek beállítása egyenlő #0#, kritikus pontot találunk # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Most már tesztelhetjük, hogy ez egy extremum (és milyen típusú), ha bizonyos értékeket ellenőriz # F # ezen a ponton, vagy a második derivált teszt segítségével. Használjuk az utóbbit.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Mint #f '' (2) = 6> 0 #, a második derivált teszt azt mondja meg nekünk #f (X) # helyi minimumja van # X = 2 #

Így használja #f '(x) # és #f '' (x) #, azt találjuk #f (X) # minimális a # X = 2 #, az algebrával kapott eredményhez igazítva.