Mi a ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1) határérték, mivel az x megközelíti a 0 ^ + -t?

Válasz:

# lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 #

Magyarázat:

Legyen:

# f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) #

# "" = ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1)) #

# "" = (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Ezután keressük:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Mivel ez határozatlan formájú #0/0# alkalmazhatjuk a L'Hôpital szabályát.

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ x-x)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) #

Ez ismét határozatlan formájú #0/0# tudjuk alkalmazni a L'Hôpital szabályát újra:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x - 1))

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x) / (xe ^ x + e ^ x + e ^ x) #

# = (e ^ 0) / (0 + e ^ 0 + e ^ 0) #

# = 1/2 #