Mi a 20-as sugarú, normál nyolcszög átmérője?

Válasz:

Attól függ:

Ha a belső sugár #20#, akkor a kerület:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Ha a külső sugár #20#, akkor a kerület:

# 160 sqrt (2 sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Magyarázat:

Itt a piros kör körülveszi a külső sugarat, a zöld kör pedig a belső.

enged # R # legyen a külső sugár - a piros kör sugara.

Ezután a nyolcszög csúcsai középre álltak #(0, 0)# vannak:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Az egyik oldal hossza a távolság # (r, 0) # és # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2 sqrt (2)) #

Tehát a teljes kerület:

#color (piros) (8r sqrt (2 sqrt (2))) #

Tehát ha a külső sugár #20#, akkor a kerület:

# 8 * 20 sqrt (2 sqrt (2)) = 160 sqrt (2 sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#fehér szín)()#

A belső sugár lesz # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Így #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Ezután a teljes kerülete

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2 sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2 sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2 sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2 sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2 sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Szín (zöld) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Tehát ha a belső sugár #20#, akkor a kerület:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#fehér szín)()#

Mennyire jó a közelítés # Pi # ez ad nekünk?

Míg itt vagyunk, mi a közelítés # Pi # megkapjuk a belső és külső sugár átlagolásával?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… nem nagyszerű.

Ahhoz, hogy olyan közel állj hozzá, mint #355/113 ~~ 3.1415929#, a kínai matematikus Zu Chongzhi a #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) oldalirányú sokszög és számláló rudak.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi