Válasz:
Az érintővonal párhuzamos a #x# tengely, amikor a lejtő (tehát # Dy / dx #) nulla, és párhuzamos a # Y # tengely, amikor a lejtő (# Dy / dx #) megy # # Oo vagy # # -OO
Magyarázat:
Elkezdjük a keresést # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Most, # dy / dx = 0 # amikor a nuimerátor van #0#, feltéve, hogy ez nem teszi meg a nevezőt sem #0#.
# 2x + y = 0 # amikor #y = -2x #
Jelenleg két egyenletünk van:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Megoldás (helyettesítéssel)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
használata #y = -2x #, kapunk
A görbe érintője vízszintes a két ponton:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # és # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Vegyük észre, hogy ezek a párok nem is nevezik a nevet # Dy / dx # egyenlő #0#)
Ahhoz, hogy megtaláljuk azokat a pontokat, amelyeken a tangens függőleges, adja meg a nevezőt # Dy / dx # egyenlő tpo #0# (anélkül, hogy a számlálót is megadnánk #0#).
Átmehetnénk a megoldást, de az egyenlet szimmetriáját, amit kapunk:
# X = -2y #, így
#y = + - sqrt21 / 3 #
és a görbe pontjai, amelyeken az érintő függőleges, a következők:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # és # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Mellesleg. Mert mi van a technológiánkkal, itt van a forgatott ellipszis grafikonja: (Ne feledje, hogy # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # amely látható a grafikonon.)
grafikon {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Válasz:
Csak középiskolai matematikát használok
Az x tengellyel párhuzamos érintők:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) és (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Az y tengellyel párhuzamos érintők:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) és (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Magyarázat:
Jim válaszára pillantottam, ami szép, standard kalkulációs kezelésnek tűnik. De nem tudtam szomorúnak lenni az összes középiskolás számára, akik ott voltak a szocratikus földön, akik az algebrai görbék érintőit szeretnék megtalálni, de még mindig évek távol vannak a számításoktól.
Szerencsére csak Algebra I segítségével tudják ezeket a problémákat megoldani.
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Ez egy kicsit bonyolultabb lehet egy első példa esetében, de menjünk vele. A görbét írjuk #f (x, y) = 0 # hol
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Vessünk # (R, S) # pontként # F #. Meg akarjuk vizsgálni # F # közel # (R, S) # így írunk
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Bővítjük, de nem bővítjük a különbségeket # X-R # és # Y-S #. Ezeket meg akarjuk tartani, hogy kísérletezhessünk néhány későbbi eltávolítással.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Azt mondtuk # (R, S) # be van kapcsolva # F # így #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
A feltételeket fokozatosan rendeztük, és közelítőleg kísérletezhetünk # F # közel # (R, S) # a magasabb fokok eldobásával. Az ötlet az, hogy mikor # (X, y) # közel van # (R, S) # azután # X-R # és # Y-S # kicsi, négyzetük és termékük kisebb.
Csak néhány közelítést hozzunk létre # F #. Mivel # (R, S) # a görbén van, az állandó közelítés, az összes különbség kifejezést leállítva
# f_0 (x, y) = 0 #
Ez nem különösebben izgalmas, de helyesen mondja nekünk pontokat # (R, S) # nulla értéket ad # F #.
Érdekeljünk és tartsuk meg a lineáris kifejezéseket.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Ha ezt nullára állítjuk, akkor a legjobb lineáris közelítést kapjuk # F # közel # (R, S), # ami az tangens vonal nak nek # F # nál nél # (R, S). # Most már valahol eljutunk.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Más közelítéseket is figyelembe vehetünk:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Ezek magasabb rendű tangensek, azok, amelyeket a főiskolai matematikai hallgatók alig találnak. Már túlléptük a főiskolai számítást.
Több közelítés van, de figyelmeztetésre kerül, hogy ez egyre hosszabb. Most, hogy megtanultuk, hogyan kell a számítást csak az Algebra I használatával végezni, tegyük meg a problémát.
Meg akarjuk találni azokat a pontokat, ahol az érintővonal párhuzamos a #x# tengely és # Y # tengely.
A tangens vonalat a következő helyen találtuk: # (R, S) # jelentése
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
A #x# tengely egy egyenlet #y = szöveg {állandó} #. Tehát az együttható #x# nullának kell lennie:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, S) # így van a görbe #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Mivel # S = -2R # a pontok
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) és (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Hasonlóan az y tengelyhez hasonlóan # 2s + r = 0 # amely a probléma szimmetriája miatt csak az x és y értékeket cserélheti. Tehát a többi pont
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) és (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Jelölje be.
Hogyan ellenőrizhető? Végezzünk egy alfaboltot.
x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3} }
Jól néz ki. Kalkulus algebrai görbéknél. Elég jó a középiskolában.
