Hogyan oldható meg 2sinx = cos (x / 3)?

Válasz:

Közelítő megoldásaink:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ vagy -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

egész számra # K #.

Magyarázat:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Ez elég nehéz.

Kezdjük a beállítással # Y = x / 3 # így # X = 3y # és helyettesítő. Ezután használhatjuk a hármas szög képletet:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Hadd térjünk, hogy mindent írjunk # sin ^ 2 y #. Ez valószínűleg idegen gyökereket vezet be.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

enged # s = sin ^ 2 y #. A négyzetes szinuszokat hívják kenhető a Rational Trigonometry-ben.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Ez egy kubikus egyenlet, három igazi gyökérrel, a négyzet szinuszjainak jelölésével # 3x. # Alkalmazhatnánk a köbös képletet, de ez csak néhány összetett szám kocka gyökeréhez vezet, amelyek nem különösebben hasznosak. Vegyünk egy numerikus megoldást:

# s 0.66035 vagy s 0.029196 vagy s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Dolgozzunk fokokban. A lehetséges közelítő megoldások:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) kb. 163.058 ^ circ vagy pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) kb. 29.5149 ^ circ vagy pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) kb. 192.573 ^ kör vagy pm 732.573 ^ circ #

Lássuk, vajon ezek közül bármelyik. enged #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) kb. 0,00001 quad # ez egy megoldás.

#e (-163.058 ^ circ) kb. nem megoldás.

Nyilvánvalóan legfeljebb az egyik a #délután# pár fog működni.

Még tíz.

#e (703.058 ^ circ) kb. 0,00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # dehogy

#e (29.5149 ^ circ) kb. 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # dehogy

#e (569.51 ^ circ) kb. 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # dehogy

#e (192.573 ^ circ) kb. dehogy

#e (-192.573 ^ circ) kb. 0,00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) kb. dehogy

#e (-732.573 ^ circ) kb. 0,00001 quad sqrt #

Az arcsin egy # + 360 ^ circ k #, és a három tényező teszi ezt # 1080 ^ circ k.

OK, közelítő megoldásaink:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # egész számra # K #.