A {x_i}, i = 1,2,3, ..., 6 x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 gyökerei olyanok, hogy minden x_i = 1. Hogyan bizonyíthatja, hogy ha b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5 ?. Ellenkező esetben a b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

Válasz:

Ehelyett a válasz # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # és a megfelelő egyenletek # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 és x ^ 6 + -1 = 0. #.

Magyarázat:

A jó válasz Cesereo R-től lehetővé tette, hogy módosítsam

a korábbi verzióm, hogy a válaszom rendben legyen.

A nyomtatvány # x = r e ^ (i theta) # valóságos és bonyolult

gyökereit. Valódi gyökerek x, r = | x |., Megegyezett! Folytassuk.

Ebben az űrlapban, az r = 1, az egyenlet két egyenletre oszlik:

#cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

és

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

Ahhoz, hogy könnyedén legyen, válassza ki (3) és használja #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. Ez ad

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #, megoldásokkal

#sin 3theta = 0 a theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

és

# cos 3theta = -a / 2 a theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, k-val, mint korábban. … (4)

Itt, # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 a a -2, 2 # … (5)

(3) csökkenti az (1) - t

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

használata #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) csökkenti az (1) - t

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 - b = 1 #… (7)

Most, (6), # a = + -2 #

Tehát (a, b) értékek (+ -2, 1)..

A megfelelő egyenletek # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 és (x ^ 6 + 1) = 0 #

Mégis, ez nem teljesen megegyezik Cesareo értékével az (a) számára. Úgy gondolom, hogy újra meg kell vizsgálnom a válaszomat, figyelembe véve a (4) és (6) pontokat, az a = 0, b = - beállításával együtt. 1. Könnyen ellenőrizhető # (a, b) = (0, -1) #egy megoldás, és a megfelelő egyenlet # X ^ 6-1 = 0 #, két igazi gyökérrel #+-1#. Itt, # 6 theta = (4k-1) pi és cos 6theta = -1 #, és így, (6) b = 1 lesz, ha a = 0 is. 100% -os jogod van, Cesareo. Köszönöm.

A teljesen teljes válasz a válasz mezőbe beírt.

Megjegyzés: Ez egy újabb javaslat, azonban emlékeztetnék és nyilatkoznék arról, hogyan állítottam elő a lehető leghamarabb a jelen kérdésben az egyenlőtlenségeket.

Sajnos, az én ügyemnek a fürkészése a porszívóba ment. Ha ez a válasz helyes, de nem így van, én #megbánás# ugyanezért. Meg kell változtatnom ezt a választ. Gyorsan gondolok, de nem írok, szinkronban a gondolattal. A bogarak könnyen beágyazódnak a gondolataimba.

Arra számítok, hogy a Neuroscientists támogatni fogják a magyarázataimat, hogy a hibákat kemény munkánkba írjuk be.

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

Tegyük fel, hogy # {a, b} az RR-ben ezt megvan #b = pm1 #

mert #b = Pix_i #. Most csinálj #y = x ^ 3 # nekünk van

# Y ^ 2 + aypm1 = 0 # és megoldása # Y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # de

# Absy = abs (- (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (PM1))) = 1 #

Megoldás # A # nekünk van # A = {0, -2,2} #

Az egyenlet # X ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 # egyenértékű az egyik lehetőséggel

# X ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

val vel

# A_0 = {- 2,0,2} #

# B_0 = {- 1,1} #