Megoldás 10cos x + 13cos x / 2 = 5?

Válasz:

Megoldás: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #

# 10 cos x + 13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # vagy

# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # vagy

# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # vagy

# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # vagy

# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. Bármelyik

# (4 cos (x / 2) +5) = 0 vagy (5 cos (x / 2) -3) = 0 #

# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # vagy

# cos (x / 2)! = 5/4 # mivel az #cos x # jelentése #-1,1#

# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # vagy

#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #

Is #cos (-53.13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~ ~ 106.26 ^ 0 #

és # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #

Megoldás: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # Ans

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # egész szám # K #

Kezdjük a helyettesítéssel # y = x / 2 # megszabadulni a töredékes szögektől.

# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #

A kozinikus dupla szög képlet előnyös formája

#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #

Behelyettesítve, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #

# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #

Ez fájdalmas tényező, de egy kis keresés jön létre

# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #

#cos y = 3/5 vagy cos y = -5 / 4 #

Nem tudjuk figyelmen kívül hagyni a hatótávolságot.

#cos y = 3/5 #

Használhatjuk a kettős szög képletet:

#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #

# x = arccos (-7/25) #

Ez egy Pythagorean Triple #7^2+24^2=25^2# így megpróbálhatjuk ezt írni # arctan (24/7) # de ez több idegen gyökér.

# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # egész szám # K #

Jelölje be:

Megnézzük egy pár számológéppel.

# x = szöveg {Arc} szöveg {cos} (- 7/25) kb 106.260205 ^ circ #

# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 alkalommal 10 ^ {- 8} quad sqrt #

Adjunk hozzá 360-at és ellenőrizzük újra:

# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106,260205 / 2)) -5 = -15,6 quad # Nem működik.

A félszög miatt a helyes válasz látszik

# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # egész szám # K #