Válasz:
# Dy / dx = -20 ° / 21 #
Magyarázat:
Meg kell ismernie a probléma implicit differenciálódásának alapjait.
Tudjuk, hogy a tangens vonal lejtése egy ponton a származék; így az első lépés az lesz, hogy a származékos terméket hozza meg. Csináljunk darabonként, kezdve:
# D / dx (3y ^ 2) #
Ez nem túl kemény; csak a láncszabályt és a hatalmi szabályt kell alkalmazni:
# D / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Most, rá # # 4xy. Ehhez szükségünk lesz a teljesítmény-, lánc- és termékszabályokra:
# D / dx (4xy) #
# -> 4D / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Termékszabály: # D / dx (uv) = u'v + UV "#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4Y + 4xdy / dx #
Rendben, végül # X ^ 2y # (több termék-, energia- és láncszabály):
# D / dx (x ^ 2y) #
# = (X ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Most, hogy megtaláltuk az összes származékot, a problémát kifejezhetjük:
# D / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4Y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Ne feledje, hogy egy konstans származéka #0#).
Most összegyűjtjük a feltételeket # Dy / dx # az egyik oldalon, és mindent áthelyezünk a másikra:
# 6ydy / dx + 4Y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4Y + 2xy) #
# -> dy / dx (6Y + 4x + x ^ 2) = - (4Y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4Y + 2xy) / (6Y + 4x + x ^ 2) #
Mindössze annyit kell tennie, hogy be van dugva #(2,5)# válaszunkra:
# Dy / dx = - (4Y + 2xy) / (6Y + 4x + x ^ 2) #
# Dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #
# Dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# Dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
