Válasz:
# "Itt nincs egyszerű faktorizálás. Csak egy általános módszer" #
# "egy köbös egyenlet megoldásához segíthet nekünk." #
Magyarázat:
# "Alkalmazhatunk egy olyan módszert, amely a Hely helyettesítésén alapul." #
# "Elosztása az első együtthatóval:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "" "X = y + p" helyettesítése "x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c" hozamban: "#
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "ha" 3p + a = 0 "vagy" p = -a / 3 ", akkor az első együttható" # # "lesz nulla, és kapunk:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(" p = -2/3 ")" #
# "" Y = qz "helyettesítése az" y ^ 3 + b y + c = 0 "értékben, hozamok:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "ha" q = sqrt (| b | / 3) "-t veszünk, az z együtthatója" #
# "3 vagy -3, és kapunk:" #
# "(itt" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Helyettesítés" z = t + 1 / t ", hozamok:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Az u = t ^ 3" helyettesítése a kvadratikus egyenletet adja: "#
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "A kvadratikus egyenlet gyökerei összetettek." #
# "Ez azt jelenti, hogy 3 valódi gyökere van a köbös egyenletünkben." #
# "A négyzetes egyenlet gyökere" #
# u = -0,93925169 + 0,34322917 i #
# "A változók visszaállítása, hozamok:" #
#t = root3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0,59750263 - 0,80186695 i.
# => z = 1.19500526 + i 0,0.
# => y = 1,93100097 + i 0,0.
# => x = 1,26433430 #
# "A többi gyökér megtalálható a" # # "fennmaradó kvadratikus egyenlet." #
# "A többi gyökér valós: -3.87643981 és 0.61210551." #
Válasz:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
hol:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Magyarázat:
Adott:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Ne feledje, hogy ez sokkal könnyebbé válik, ha a kérdésben hiba van.
Például:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-szín (piros) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + szín (piros) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Ha a kocka a megadott formában helyes, akkor a nullákat és a tényezőket a következőképpen találjuk:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Tschirnhaus átalakulás
Ahhoz, hogy a kocka egyszerűsítése megoldható legyen, a kocka egyszerűsítését Tschirnhaus transzformáció néven ismert lineáris helyettesítéssel végezzük.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282t + 1712 #
hol # T = (6x + 4) #
Trigonometrikus helyettesítés
Mivel #f (X) # van #3# Valódi nullák, a Cardano módszere és hasonlók a komplex számok redukálhatatlan kocka gyökereit tartalmazó kifejezésekhez vezetnek. Ilyen körülmények között előnyben részesítem a trigonometrikus helyettesítést.
tedd:
#t = k cos theta #
hol #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Azután:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (fehér) (0) = k ^ 3 cos ^ 3-teta - 282 k cos theta + 1712 #
#color (fehér) (0) = 94k (4 cos ^ 3-theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (fehér) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Így:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712 sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Így:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2 npi #
Így:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Így:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Melyik ad #3# a kocka különböző nullái # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # mert #n = 0, 1, 2 #
Azután:
#x = 1/6 (t-4) #
Tehát az adott köbös három nulla:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
hozzávetőleges értékekkel:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
