Hogyan integrálható az sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Válasz:

#intqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Magyarázat:

Mivel egyszerűbb kezelni csak az egyiket #x# négyzetgyök alatt, a négyzetet teljesítjük:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + K #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#intqrt (x ^ 2 + 4x) x = int qrt ((x + 2) ^ 2-4) x # #

Most trigonometrikus helyettesítést kell végezni. Hiperbolikus triggerfunkciókat fogok használni (mivel a secant integrál általában nem túl szép). Az alábbi identitást szeretnénk használni:

# Cosh ^ 2 (teta) -1 = sinh ^ 2 (théta) #

Ehhez szeretnénk # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (théta) #. Meg tudjuk oldani #x# hogy milyen helyettesítésre van szükségünk:

# X + 2 = 2cosh (théta) #

# X = 2cosh (théta) -2 #

Az integráláshoz # # Theta, meg kell szoroznunk a #x# tekintetében # # Theta:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int qrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int qrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int (4 kp ^ 2 (teta) -4) * sinh (theta) d theta = 2intqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int qrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Most használhatjuk az identitást # Cosh ^ 2 (teta) -1 = sinh ^ 2 (théta) #:

# = 4intqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d-teta = 4-es sinh ^ 2 (theta) d theta #

Most az identitást használjuk:

# Sinh ^ 2 (teta) = 1/2 (cosh (2 théta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2-teta) -1 deta = intc 2cch (2-aseta) d-teta-2-teta = #

Egyértelmű u-helyettesítést tehetünk # 2cosh (2 théta) #, de elég nyilvánvaló, hogy a válasz #sinh (2 théta) #:

# = Sinh (2 théta) -2theta +, C #

Most meg kell szüntetnünk a helyettesítést. Meg tudjuk oldani # # Theta megkapja:

# Téta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Ez adja meg:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) +, C #

Az állatkertben két szivárgó víztartály található. Egy víztartály 12 liter vizet tartalmaz, és 3 g / óra állandó sebességgel szivárog. A másik 20 g vizet tartalmaz, és 5 g / óra állandó sebességgel szivárog. Mikor lesz a két tartály azonos mennyiségű?

4 óra. Az első tartály 12 g-ot veszít, és 3g / óra vesztes. A második tartály 20g-os és 5g / óra vesztes Ha az időt t-vel ábrázoljuk, akkor ezt egyenletként írhatjuk: 12-3t = 20-5 t 20-5 t => 2t = 8 => t = 4: 4 óra. Ekkor mindkét tartály egyszerre kiürül.

Mi az a számlálható / számíthatatlan főnév? Tudom, hogy kevesebbet használsz a számíthatatlan főneveknél és kevesebb a számlálható főneveknél, de mi van néhány példa mindegyikre?

Lásd az alábbi választ: Ez a különbség a számlálható és a számíthatatlan főnevek között: A számlálható főnevek a nevük szerint számíthatók. Általában többes számuk van. rarrExamples: macska / macskák, bőrönd / bőröndök, ceruza / ceruzák ... Számíthatatlan főnevek a főnevek, amelyek nem számíthatók fel. Általában nincs többes számuk, és elvontak lehetnek (azaz nem kézzelfoghatóak - nem érezhetőek). rarrExamples:

Hogyan integrálható az int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx részleges frakciókkal?

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Tehát először ezt írjuk: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Ezen kívül: (6x ^ 2 + 13x + 6 ) / ((x + 2) (X + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (X + 1) ^ 2 = (A (x + 1 ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) Az x = -2 használatával: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Ezután az x = -1 használatával: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1)