Ha a 3x ^ 2-4x + 1-es nulla alfa és béta, akkor milyen négyzetes a nulla alfa ^ 2 / béta és a béta ^ 2 / alfa?

Válasz:

megtalálja # Alfa # és # # Beta első.

Magyarázat:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

A bal oldali tényezők, így van

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Az általánosság elvesztése nélkül a gyökerek #alpha = 1 # és #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # és #(1/3)^2/1= 1/9#.

Az ilyen gyökerekkel rendelkező racionális együtthatókkal rendelkező polinom

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Ha egész együtthatót kívánunk, akkor megszorozzuk a 9-el, hogy:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Ha ezt szeretnénk, akkor ezt meg lehet szaporítani:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

JEGYZET: Általánosabban írhatunk

#f (x) = (x - alfa ^ 2 / béta) (x - béta ^ 2 / alfa) #

# = x ^ 2 - ((alfa ^ 3 + béta ^ 3) / (alphabeta) x + alphabeta #

Válasz:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Magyarázat:

Vegye figyelembe, hogy:

# (x-alfa) (x-béta) = x ^ 2- (alfa + béta) x + alfa-béta #

és:

# (x-alfa ^ 2 / béta) (x-béta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / béta + béta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / béta) (béta ^ 2 / béta) alfa) #

#color (fehér) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-béta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 3 + béta ^ 3) / (alfa-béta) x + alfa-béta #

#color (fehér) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-béta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + béta) ^ 3-3-alfa béta (alfa + béta)) / (alfa béta) x + alfa béta #

Példánkban megosztjuk # 3x ^ 2-4x + 1 # által #3# nekünk van:

# {(alfa + béta = 4/3), (alfa-béta = 1/3):} #

Így:

# ((alfa + béta) ^ 3-3-alfa-béta (alfa + béta)) / (alfa-béta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Így a kívánt polinom írható:

# X ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Szorozzuk át #9# egész együtthatót kap:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Válasz:

Javasolt megoldás az alábbiakban;

Magyarázat:

# 3x²-4x + 1 #

Jegyzet: # A # alfa, # B # béta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Egy egyenlet létrehozásához megtaláljuk a gyökerek összegét és termékeit.

Sumért

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

De; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Ebből adódóan;

# ((A + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Ezért helyettesítjük az értékeket.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Ezért az összeg #28/9#

Termékek

# ((A²) / b) ((b²) / a) #

# ((Ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Ezért a termék #1/3#

# X²- (a + b) x + AB #

# X²- (28/9) x + 1/3-#

# 9x²-28x + 3 #

Szorzással #9#

Remélem ez segít!