X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (faktorise)?

Válasz:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alfa + bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + Omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2aifa + omegabar (alfa)) x + 2) #

az alábbiakban leírtak szerint …

Magyarázat:

Figyelem:

Ez a válasz talán előrehaladottabb, mint amire számíthat.

Megjegyzések

Lehetőség van egyszerűsíteni és megtalálni:

# alpha + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1 sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alfa) = -1 #

de nem (még) világos számomra, hogyan lehet ezt a legjobban elvégezni.

Válasz:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Magyarázat:

Itt egy egyszerűbb módszer …

Adott:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Keresse meg az űrlap faktorizálását:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (alfa + béta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + béta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alfa + béta + gamma) x + 8 #

Megtalálható egyenlő együtthatók:

# {(alfa + béta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Így #alpha, béta, gamma # a kocka nullái:

# (X-alfa) (X-béta) (x-y) #

# = X ^ 3- (alfa + béta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6x + 5 #

Megjegyezzük, hogy a köbösség együtthatóinak összege #0#. Ez az #1-6+5 = 0#.

Ennélfogva # X = 1 # nulla és # (X-1) # tényező:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

A fennmaradó kvadratikus nullák a következő négyzetes képlet alkalmazásával találhatók:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Így # {alfa, béta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Így:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

pótlék

Meg lehet-e általánosítani a fenti származást?

# X ^ 6 + px ^ 3 + Q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = X ^ 6 + (alfa + béta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + béta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + Q (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + béta + gamma) x + q ^ 3 #

Egyenlő együtthatók:

# {(alfa + béta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Ennélfogva #alpha, béta, gamma # a nullák:

# X ^ 3-3qx-p #

Tehát, ha három valódi nullát találunk ennek a köbméternek, akkor a sextikus faktorizációja van # X ^ 6 + px ^ 3 + Q ^ 3 # három kvázióba, valós együtthatóval.