Mi a parabola egyenlete, az (5,3) és az y = -12 irányvonala?

Válasz:

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

Magyarázat:

A parabola definíciója szerint a parabola minden pontja mindig ugyanolyan távolságban van a fókuszhoz és a irányvonalhoz.

Elengedhetjük # P = (x, y) #, amely a parabola általános pontját képviseli # F = (5,3) # a fókuszt és # D = (x, -12) # a közvetlen irányban a legközelebbi pontot jelentik #x# azért van, mert a közvetlen iránypont legközelebbi pontja mindig egyenesen lefelé.

Ezekkel a pontokkal most egy egyenletet állíthatunk be. A távolságok kiszámításához a távolság képletet fogjuk használni:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Ezt alkalmazhatjuk pontjainkra, hogy először megkapjuk a távolságot # P # és # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Aztán megtervezzük a távolságot # P # és # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Mivel ezeknek a távolságoknak egyenlőnek kell lenniük, egy egyenletbe helyezhetjük őket:

#sqrt ((X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

A lényeg óta # P # általános formában van, és bármely pontot képviselhet a parabolában, ha csak meg tudjuk oldani # Y # az egyenletben egy egyenlet marad, amely minden pontot megad a parabolában, vagyis a parabola egyenlete lesz.

Először mindkét oldalt szögletesítjük:

# (Sqrt ((X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Ezután bővíthetjük:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Ha mindent elhelyezünk a bal oldalon, és összegyűjtjük a kifejezéseket, megkapjuk:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30Y = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

ami a parabola egyenlete.