Mutassuk meg, hogy (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Válasz:

Lásd alább.

enged # 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha) #, itt # R = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2 théta) = sqrt (2 + 2costheta) #

= #sqrt (2 + 4cos ^ 2 (téta / 2) -2) = 2cos (téta / 2) #

és # Tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (téta / 2) cos (téta / 2)) / (2cos ^ 2 (téta / 2)) = tan (téta / 2) # vagy # Alfa = théta / 2 #

azután # 1 + costheta-isintheta = R (cos (-alfa) + ISIN (-alfa)) = R (cosalpha-isinalpha) #

és írhatunk # (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n # DE MOivre tétele alapján

# R ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) #

= # 2r ^ ncosnalpha #

= # 2 * 2 ^ NCO ^ n (téta / 2) cos ((ntheta) / 2) #

= # 2 ^ (n + 1) cos ^ n (téta / 2) cos ((ntheta) / 2) #