Keresse meg azokat az x értékeket, amelyekre a következő sorozat konvergens?

Válasz:

#1<>

Magyarázat:

Amikor megpróbáljuk meghatározni a teljesítménysorozatok sugárzását és / vagy konvergenciaintervallumát, a legjobb, ha a Ratio Tesztet használjuk, amely egy sorozatot jelez nekünk # # Suma_n, hagyjuk

# L = lim_ (N-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Ha #L <1 # a sorozat teljesen konvergens (és így konvergens)

Ha #L> 1 #, a sorozat eltér.

Ha # L = 1, # az arányarány-vizsgálat nem meggyőző.

A Power Series esetében azonban három eset lehetséges

a. A teljesítménysorozat minden valós számra konvergál; konvergenciaintervalluma # (- oo, oo) #

b. A teljesítménysorozat egyes számokra konvergál # X = A; # a konvergencia sugara nulla.

c. A leggyakrabban előforduló eset, a teljesítménysorozat konvergál # | X-a |<> konvergenciaintervallummal # A-R

# | 2x-3 | lim_ (N-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Tehát, ha # | 2x-3 | <1 #, a sorozat konvergál. De szükségünk van erre a formában # | X-a |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | X-3/2 | <1/2 # konvergenciát eredményez. A konvergencia sugara # R = 1/2 #

Most határozzuk meg az intervallumot:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Csatlakoztatnunk kell # x = 1, x = 2 # az eredeti sorozatba, hogy lássuk-e konvergenciát vagy eltérést ezeken a végpontokon.

# x = 1: összeg_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = összeg_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # eltér, a nyeregnek nincs korlátja, és biztosan nem megy nullára, csak váltakozó jelek.

# x = 2: összeg_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = összeg_ (n = 0) ^ oo1 # az eltérési teszt is eltér #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Ezért a sorozat konvergál #1<>

Használhatjuk az aránytesztet, amely azt mondja, hogy ha van egy sorozatunk

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

feltétlenül konvergens, ha:

#lim_ (N-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

A mi esetünkben, # A_n = (2x-3) ^ n #, ezért ellenőrizzük a határértéket:

#lim_ (N-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (N-> oo) | ((2x-3) megszünteti ((2x-3) ^ n)) / megszünteti ((2x-3) ^ n) | = #

# = Lim_ (N-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Szóval, ellenőrizzük, mikor # | 2x-3 | # kevesebb mint #1#:

Itt tévedtem, de a fenti válasz ugyanazzal a módszerrel és helyes választ ad, így csak nézd meg ezt.