Egy labda egyenesen leesik egy 12 méteres magasságból. A talajba ütés után a hanyatlás 1/3-át visszahúzza. Milyen messzire utazik a labda (mind felfelé, mind lefelé), mielőtt pihenne?

Válasz:

A labda 24 méterrel halad.

Magyarázat:

Ez a probléma végtelen sorozatok figyelembevételét igényli. Fontolja meg a labda tényleges viselkedését:

Először a labda 12 méterre esik.

Ezután a labda felugrik #12/3 = 4# láb.

Ezután a labda esik a 4 láb.

Az egyes egymást követő ugrásoknál a labda utazik

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # láb, hol # N # a visszapattanások száma

Így ha elképzeljük, hogy a labda indul #n = 0 #, akkor válaszunk a geometriai sorozatból nyerhető:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Jegyezze fel a #-12# korrekciós kifejezés, ez azért van, mert ha indulunk # N = 0 # számítunk egy 0 lábas, és 12 méteres lejtőn. A valóságban a labda csak a fele utazik, ahogy a levegőben indul.

Az összeg egyszerűsíthető:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Ez csak egy egyszerű geometriai sorozat, amely a következő szabályt követi:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Amíg # | R | <1 #

Ez egyszerű megoldást jelent problémánkra:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# láb.