Válasz:
Lásd a magyarázatot.
Magyarázat:
Heine egy függvényhatár meghatározása szerint:
#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #
#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #
Tehát annak bemutatására, hogy van egy funkció NEM határérték: # # X_0 két szekvenciát kell találnunk # {X_n} # és # {Bar (x) _N} # oly módon, hogy
#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _N = x_0 #
és
#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _N) #
Az adott példában az ilyen szekvenciák lehetnek:
# X_n = 1 / (2 ^ n) # és #bar (x) _N = 1 / (3 ^ n) #
Mindkét szekvencia közeledik # X_0 = 0 #, de a függvény képlete szerint:
#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)
mert minden elem az # # X_n benne van #1,1/2,1/4,…#
és a #bar (x) _N # nekünk van:
#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #
de mindenki számára #n> = 2 # nekünk van: #f (bar (x) _N) = 1 #
Így #n -> + oo # nekünk van:
#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _N) = 1 # (**)
Mindkét szekvencia lefed # X_0 = 0 #, de a határértékek (*) és (**) NEM egyenlő, így a határ #lim_ {x-> 0} f (x) # nem létezik.
QED
A limit definíció a Wikipédiában található:
Válasz:
Itt van egy bizonyíték a korlátozás létezésének definiálásától.
Magyarázat:
Rövid változat
#f (X) # nem tud egyetlen számhoz közeledni # L # mert minden szomszédságában #0#, a funkció # F # olyan értékeket vesz fel, amelyek különböznek egymástól #1#.
Tehát nem számít, amit valaki javasol # L #, vannak pontok #x# közel #0#, hol #f (X) # legalábbis #1/2# egység távol # L #
Hosszú változat
#lim_ (xrarr0) f (x) # és csak akkor létezik, ha
van egy szám, # L # ilyen mindenki számára #epsilon> 0 #, van egy #delta> 0 # olyan, hogy mindenki számára #x#, # 0 <abs (x) <delta # azt jelenti, #abs (f (x) -L) <epsilon #
Ennek elutasítása:
#lim_ (xrarr0) f (x) # csak akkor létezik, ha
minden számhoz # L # van egy #epsilon> 0 #, olyan, hogy mindenki számára #delta> 0 # van egy #x#, oly módon, hogy # 0 <abs (x) <delta # és #abs (f (x) -L)> = epsilon #
Számot adott # L #, Megengedem #epsilon = 1/2 # (bármilyen kisebb # # Epszilon fog működni is)
Most egy pozitív #delta#, Be kell mutatnom, hogy van egy #x# val vel # 0 <absx <delta # és #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (emlékezz erre #epsilon = 1/2 #)
Pozitív #delta# végül # 1/2 ^ n <delta # így van egy # # X_1 val vel #f (x_1) = 2 #.
Van még egy elem is # x_2 az RR- {1, 1/2, 1/4,… } # val vel # 0 <x_2 <delta # és #f (x_2) = 1 #
Ha #L <= (1/2) #, azután #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #
Ha #L> = (1/2) #, azután #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #
