Van-e szisztematikus módja annak, hogy meghatározzuk a 10 és, mondjuk, 50 közötti számok számát, amelyek oszthatók az egységek számjegyeivel?

Válasz:

A számok száma között #10# és # # 10k az egységnyi számmal osztható lehet

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

hol #fl (X) # a padlófunkciót, a leképezést jelenti #x# a legnagyobb vagy annál kisebb egész számra #x#.

Magyarázat:

Ez megegyezik azzal a kérdéssel, hogy hány egész szám van # A # és # B # létezik, ahol # 1 <= b <5 # és # 1 <= a <= 9 # és # A # oszt # 10b + egy #

Vegye figyelembe, hogy # A # oszt # 10b + a # ha, és csak akkor ha # A # oszt # 10b #. Így elég, ha sok ilyenet találunk # B #s mindegyikhez létezik # A #. Ne feledje, hogy # A # oszt # 10b # ha és csak akkor, ha mindegyik # A # szintén az elsődleges tényezője # 10b # megfelelő sokasággal.

Minden, ami így marad, az, hogy átmegy mindegyik # A #.

#a = 1 #: Mivel minden egész szám osztható #1#, mind a négy érték # B # munka.

# A = 2 #: Mint #10# osztható #2#, mind a négy érték # B # munka.

# A = 3 #: Mint #10# nem osztható #3#, nekünk kell hogy legyen # B # osztható #3#, vagyis # B = 3 #.

# A = 4 #: Mint #10# osztható #2#, nekünk kell hogy legyen # B # osztható #2# a megfelelő sokaság. És így, # B = 2 # vagy # B = 4 #.

# A = 5 #: Mint #10# osztható #5#, mind a négy érték # B # munka.

# A = 6 #: Mint #10# osztható #2#, nekünk kell hogy legyen # B # osztható #3#, vagyis # B = 3 #.

# A = 7 #: Mint #10# nem osztható #7#, nekünk kell hogy legyen # B # osztható #7#. De #l <5 #, és így nincs értéke # B # művek.

# A = 8 #: Mint #10# osztható #2#, nekünk kell hogy legyen # B # osztható #4#, vagyis # B = 4 #

# A = 9: # Mint #10# nem osztható #3#, nekünk kell hogy legyen # B # osztható #3^2#. De #l <5 #, és így nincs értéke # B # művek.

Ez minden esetet befejez, és így hozzáadja őket, ahogyan azt a kérdésben megállapítottuk, #17# értékeket. Ez a módszer azonban nagyobb értékekre is kiterjeszthető. Például, ha el akarunk menni #10# nak nek #1000#, korlátoznánk # 1 <= b <100 #. Akkor nézd # A = 6 #mondjuk, mi lenne #2# oszt #10# és így #6# oszt # 10b # ha, és csak akkor ha #3# oszt # B #. Vannak #33# többszörösei #3# a tartományban # B #, és így #33# számok, amelyek vége #6# és oszthatóak #6# között #10# és #1000#.

Rövidebb, könnyebben kiszámítható jelölések segítségével a fenti megfigyelések segítségével írhatjuk az egész számok számát #10# és # # 10k mint

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = összeg_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

hol #fl (X) # a padlófunkciót, a leképezést jelenti #x# a legnagyobb vagy annál kisebb egész számra #x#.