Válasz:
Ahhoz, hogy a harmadik oldal legyen a legrövidebb, szükségünk van rá # (1 + sqrt2) | b |> Absa> absb # (és az # A # és # B # ugyanaz a jel).
Magyarázat:
A jobb háromszög leghosszabb oldala mindig a hypotenuse. Tehát tudjuk, hogy a hipotenusz hossza # A ^ 2 + b ^ 2 #
Legyen az ismeretlen oldalhossz # C. # Aztán tudjuk, hogy a pythagorai tételből
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
vagy
# C = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#COLOR (fehér) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4,4a ^ 2b ^ 2) #
#COLOR (fehér) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#COLOR (fehér) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#COLOR (fehér) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Szükségünk van továbbá arra, hogy minden oldalhossz pozitív legyen
- # A ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 vagy b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 vagy a, b <0 #
- # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> A ^ 2> b ^ 2 #
# <=> Absa> absb #
Most, mert bármilyen háromszög, a leghosszabb oldal kell rövidebb, mint a összeg a másik két oldal. Tehát:
#color (fehér) (=>) 2ab + "" c szín (fehér) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab szín (fehér) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," ha b> 0), (a <b "," ha b <0):} #
Továbbá, hogy a harmadik oldal legyen a legkisebb, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
vagy # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # vagy # a-b <sqrt2b # vagy #a <b (1 + sqrt2) #
Mindezen korlátozások összevonásával arra a következtetésre juthatunk, hogy ahhoz, hogy a harmadik oldal legyen a legrövidebb, szükségünk van rá # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb és (a, b <0 vagy a, b> 0).
