Q.1 Ha az alfa, béta az x ^ 2-2x + 3 = 0 egyenlet gyökerei, akkor szerezzük be az egyenletet, amelynek gyökerei alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa-2 és béta ^ 3-béta ^ 2 + beta + 5?

# # Q.1 Ha # Alfa, béta # az egyenlet gyökerei # X ^ 2-2x + 3 = 0 # megszerzi az egyenletet, amelynek gyökerei vannak # alpha ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alpha -2 # és # Béta ^ 3-béta ^ 2 + béta + 5 #?

Válasz

adott egyenlet # X ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

enged # alfa = 1 + sqrt2i és béta = 1-sqrt2i #

Most hagyd

# gamma = alpha ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 #

# => gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa -1 + 2alpha-1 #

# => Gamma = (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alfa #

# => Gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => Gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

És hagyd

# Delta = béta ^ 3-béta ^ 2 + béta + 5 #

# => Delta = béta ^ 2 (béta-1) + béta + 5 #

# => Delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Tehát a négyzetes egyenletnek gyökerei vannak #gamma és delta # jelentése

# X ^ 2- (gamma + delta) x + gammadelta = 0 #

# => X ^ 2- (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => X ^ 2-3x + 2 = 0 #

# # Q.2 Ha az egyenlet egyik gyökere # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # legyen a másik négyzete

Bizonyítsd # B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

Legyen egy gyökér # Alfa # akkor más gyökér lesz # Alfa ^ 2 #

Így # Alfa ^ 2 + alpha = -B / a #

és

# Alfa ^ 3 = c / a #

# => Alfa ^ 3-1 = c / a-1 #

# => (Alfa-1) (alfa ^ 2 + alpha + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) = (c-a) / (a-b) #

# => Alfa = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #

Most #alpha # a kvadratikus egyenlet egyik gyökere # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # tudunk írni

# Aalfa ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => Egy ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => Egy (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #

# => AC ^ 2-2abc + AB ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #

# => B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

bizonyított

Alternatív

# Aalfa ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => Aalfa + b + c / alfa = 0 #

# => Egy (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((C / A) ^ (1/3)) = 0 #

# => C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3C ^ (1/3) a ^ (2/3) XXc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => Ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-B) = (- b) ^ 3 #

# => B ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #