Mutassuk meg, hogy az x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 egyenlet pontosan egy megoldást tartalmaz a [0, 1] -nél?

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

Először is, számítsuk ki #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # tartományunk határán:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Ha kiszámítjuk a származékos terméket

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Láthatjuk, hogy mindig pozitív #0,1#. Valójában, # X ^ 2 + 1 # mindig pozitív, és # 4x # nyilvánvalóan pozitív, mivel #x# pozitív.

Tehát a funkciónk az alábbiak szerint kezdődik #x# tengelye #f (0) <0 #, és vége a #x# tengelye #f (1)> 0 #. A függvény polinom, és így folyamatos.

Ha egy folyamatos vonal a tengely alatt kezdődik, és a fenti vége véget ér, azt jelenti, hogy át kellett lépnie rajta. És az a tény, hogy a derivatív mindig pozitív, azt jelenti, hogy a funkció mindig növekszik, és így nem tud kétszer átmennie a tengelyen, így a bizonyíték.