# 242a2 kérdés

Válasz:

A kondenzátorban tárolt energia időben # T # nekünk van #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # hol #E (0) # a kezdeti energia, # C # a kapacitás és a # R # a kondenzátor két oldalát összekötő vezeték ellenállása.

Magyarázat:

Mielőtt válaszolnánk erre a kérdésre, először tekintsünk át néhány alapvető fogalmat. Természetesen meg kell ismernünk a kondenzátorban tárolt energiát, vagy inkább a kondenzátorban tárolt töltés által létrehozott elektromos térben tárolt energiát. Ehhez van a képletünk # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # val vel # C # a kondenzátor kapacitása és # Q # az egyik kondenzátor lemezen tárolt töltés. 1

Tehát ahhoz, hogy tudjuk, hogyan csökken az energia, tudnunk kell, hogy a díj hogyan csökken. Ehhez néhány dolgot kell szem előtt tartani. Az első dolog az, hogy a díj csak akkor csökken, ha bárhová megy. A legegyszerűbb forgatókönyv az, hogy a két lemezt egy vezetéken keresztül csatlakoztatják, így a lemezek cserélhetnek, így semlegesek lesznek. A második dolog az, hogy ha feltételezzük, hogy a huzalnak nincs ellenállása, a töltés azonnal képes lenne mozogni, így az energia nullára csökken ezen a sebességnél is. Mivel ez egy unalmas helyzet, és amellett, hogy nem igazán reális, feltételezzük, hogy a huzalnak valamilyen ellenállása van # R #, amit modellezhetünk úgy, hogy a kondenzátor lemezeket ellenállású ellenálláson keresztül csatlakoztatjuk # R # ellenállásmentes vezetékek használata.

Ami most már egy úgynevezett RC-áramkör, az alább látható. Annak érdekében, hogy megtudja, hogyan változik a tárolt töltés, le kell írnunk néhány differenciálegyenletet. Nem vagyok biztos benne, hogy az olvasó mennyire jár a matematikában, ezért kérem, tudassa velem, hogy az Ön számára nem világos-e a következő rész, és megpróbálom részletesebben megmagyarázni.

Először is megjegyezzük, hogy amikor a huzal mentén járunk, két ugrást tapasztalunk (feszültség), nevezetesen a kondenzátoron és az ellenálláson. Ezeket az ugrásokat a # DeltaV_C = Q / C # és # DeltaV_R = IR # 1. Megjegyezzük, hogy kezdetben nincs aktuális áram, így az ellenállás fölötti potenciális különbség 0, de ahogy látni fogjuk, a töltések megkezdése után aktuális áram lesz. Megjegyezzük, hogy amikor körbejárjuk az áramkört egy ponttól kezdve, akkor ismét ugyanabban a pontban fogunk végezni, mert egy áramkörben vagyunk. Ezen a ponton mindkét esetben ugyanaz a potenciál, mert ugyanaz a pont. (Amikor azt mondom, hogy végigmegyünk az áramkörön, nem azt értem szó szerint, hanem egy pillanatra megvizsgáljuk az áramkörben lévő feszültségugrásokat, így nincs idő, amikor az áramkör mentén járunk, ezért az érv akkor is fennáll, ha az a feszültség időben változik.)

Ez azt jelenti, hogy a teljes potenciál ugrás nulla. Így # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Most azt gondoljuk, hogy mi #ÉN#, az aktuális. Az áram töltődik, pozitív töltést vesz fel az egyik kondenzátor lemezről, és a másikba kerül. (Valójában nagyrészt fordítva van, de ez a probléma matematikája szempontjából nem számít.) Ez azt jelenti, hogy az áram egyenlő a lemezek terhelésének változásával, más szóval # I = (dQ) / dt #. Ezt a fenti egyenletben helyettesítjük # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, ami azt jelenti # (DQ) / dt = -Q / (CR) #. Ez egy úgynevezett lineáris elsőrendű differenciálegyenlet. A díjváltozást lineárisan diktálja a díjváltozásnak abban az időben, ami azt jelenti, hogy ha a díj kétszer olyan nagy, akkor a díjváltozás is kétszer akkora lenne. Ezt az egyenletet kalkulus okos felhasználásával tudjuk megoldani.

# (DQ) / dt = -Q / (CR) #, úgy gondoljuk # # Qne0, amit nem kezdetben, és mivel kiderül, soha nem lesz. Ezt használhatjuk # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Tudni # Q # valamikor # T # (más szavakkal #Q (t) #, az egyenletet az alábbiak szerint integráljuk: # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # mivel # C # és # R # konstansok. # Int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # változók változásával. Ez azt jelenti, hogy #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, így #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Végül ezt vissza kell cserélnünk az energia egyenletébe:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Így az energia exponenciálisan csökken az időn keresztül. Valóban látjuk, hogy ha # R # nullára mennek #E (t) # azonnal 0-ra megy.

1 Griffiths, David J. Bevezetés az elektrodinamikába. Negyedik kiadás. Pearson Education Limited, 2014