Segítenél? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Válasz:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Magyarázat:

ehhez az alábbiak szerint kell részegységeket integrálni. A határértékeket a végéig elhagyjuk

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#COLOR (piros) (I = Intu (DV) / (dx) dx) = UV-INTV (du) / (dv) dx #

# U = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#COLOR (piros) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

a második integrált részek is elvégzik

# U = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#COLOR (piros) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#COLOR (piros) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (piros) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

most tegye a határokat

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (E ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (SIN0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Válasz:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Magyarázat:

Míg a már adott válasz tökéletes, csak egy egyszerűbb módszert akartam rámutatni arra, hogy ugyanazt a választ érjük el egy kissé fejlettebb megközelítéssel - komplex számokon keresztül.

Kezdjük a híres kapcsolatban

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

hol # I = sqrt {-1} #, és vegye figyelembe, hogy ez azt jelenti

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) azt jelenti, hogy e ^ {2x} sin (x) = im (e ^ {(2 + i} x)) #

hol # # Im a képzeletbeli részt jelöli.

Így

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ én})#

# = Im ({azaz ^ pi -1} / {2 + i} idők {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) idők (-1) + e ^ pi 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #