Válasz:
Lásd a magyarázatot …
Magyarázat:
Ha # P = q = r # azután:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Tehát minden nullának van közös.
Ne feledje, hogy ezek a feltételek nem szükségesek.
Például, ha # P = 0 #, #q! = 0 # és #r! = 0 # azután:
# Px ^ 2 + qx + r = 0 # rendelkezik gyökérrel # X = -r / Q #
# Qx ^ 2 + RX + p = 0 # gyökerei vannak # X = -r / Q # és # X = 0 #
Tehát a két egyenletnek van egy közös gyökere, de #p! = q # és nem igényeljük # P + q + r = 0 #.
Válasz:
Lásd alább.
Magyarázat:
Mint # Px ^ 2 + qx + r = 0 # és # Qx ^ 2 + RX + p = 0 # van közös gyökere, legyen ez a gyökér # Alfa #. Azután
# Palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # és # Qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
és így # Alfa ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = alfa / (QR-p ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2) #
és # Alfa = (QR-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # és # Alfa ^ 2 = (PQ-R ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
azaz # (Qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (PQ-R ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
vagy # (Qr-p ^ 2) ^ 2 = (PQ-R ^ 2) (pr-q ^ 2) #
vagy # Q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2QR = p ^ 2QR-PQ ^ 3-pr ^ 3 + Q ^ 2r ^ 2 #
vagy # P ^ 4 + PQ ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2QR = 0 # és osztva # P #
vagy # P ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
azaz # (P + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp) = 0 #
Ezért is # P + q + r = 0 # vagy # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp = 0 #
Figyelje meg ezt # Alfa ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = alfa / (QR-p ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2) #
# Alfa ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = alfa / (QR-p ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alpha + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp) #
és ha # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp = 0 #, nekünk van # Alfa ^ 2 + alpha + 1 = 0 # azaz # P = q = r #
