A 90 ^ 9 számnak 1900 különböző pozitív integráló osztója van. Ezek közül hányan egész számok négyzetei?

Válasz:

Wow - válaszolok a saját kérdésemre.

Magyarázat:

Kiderült, hogy a megközelítés a kombinatorika és a számelmélet kombinációja. Elkezdjük faktorálással #90^9# főbb tényezőire:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

A trükk itt az, hogy kitaláljuk, hogyan lehet megtalálni az egész számok négyzetét, ami viszonylag egyszerű. Az egész számok négyzetei többféle módon generálhatók ebből a faktorizációból:

#5^9*3^18*2^9#

Ezt láthatjuk #5^0#például egy egész szám és egy osztó négyzete #90^9#; hasonlóképpen, #5^2#, #5^4#,#5^6#, és #5^8# mindezek megfelelnek ezeknek a feltételeknek is. Ezért 5 lehetséges módja van a (z) #90^9# ez egy egész szám négyzete, egyedül 5-ös.

Ugyanez az érvelés vonatkozik #3^18# és #2^9#. Ezeknek az elsődleges tényezőknek minden páros teljesítménye - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 összesen) 3 és 0, 2, 4, 6, 8 (összesen 5) esetén 2 - egy tökéletes négyzet, amely a #90^9#. Továbbá, bármilyen kombináció ezeknek a főosztályozóknak, akiknek még a hatalmuk is vannak, megfelelnek a feltételeknek. Például, #(2^2*5^2)^2# egy egész szám négyzete #(3^8*2^4)^2#; és mindkettő, a #90^9#, szintén osztók #90^9#.

Így a kívánt négyzetek száma egész számok, amelyek osztók #90^9# által adva #5*10*5#, amely az egyes prime faktorok lehetséges választásainak szorzata (5 az 5, 10 a 3, és 5 a 2 esetében). Ez egyenlő #250#, ami a helyes válasz.