X (P (x) Q (x)) PxP (x) QxQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) QxQ (x ). Kérem, segítsen nekem az első kijelentéssel?

E kijelentések megértéséhez először meg kell értenünk a használt jelölést.

• # AA # - mindenkinek - Ez a szimbólum azt jelenti, hogy a készlet minden példájánál valami igaz. Tehát, ha hozzáadunk egy változót #x#, # # AAx azt jelenti, hogy bizonyos állítás minden lehetséges értékre vagy elemre vonatkozik, amit helyettesíthetünk #x#.

• #P (x), Q (x) # - javaslat - Ezek logikus javaslatok #x#vagyis azokról nyilatkozatokat képviselnek #x# amelyek valódiak vagy hamisak bármelyikhez #x#.

• # # - és - Ez a szimbólum több ajánlat kombinációját teszi lehetővé. A kombinált eredmény igaz, ha mindkét ajánlat igaz és hamis.

• # # - vagy - Ez a szimbólum a többszörös javaslatok kombinációját is lehetővé teszi. Az együttes eredmény hamis, ha mindkét ajánlat téves, és egyébként igaz.

• # # - ha, és csak akkor ha - Ez a szimbólum a többszörös javaslatok kombinációját is lehetővé teszi. Az együttes eredmény akkor igaz, ha mindkét ajánlat ugyanazokat az igazságértékeket adja vissza mindenkinek #x#és hamisan.

Ezzel lefordíthatjuk a nyilatkozatokat. Az első, közvetlenül megfogalmazott kijelentés úgy hangzik, mint "Minden x, P x és Q x, ha és csak akkor, ha az összes x, P x, és az összes x, Q x."

Néhány kisebb kiegészítés és módosítás egy kicsit érthetőbbé teszi.

"Minden x esetén P és Q igaz az x esetében, és csak akkor, ha P minden igaz x és Q minden x esetében igaz."

Ez az állítás tautológia, vagyis igaz, függetlenül attól, amit P vagy Q helyett helyettesítünk. Ezt megmutathatjuk azzal, hogy bemutatjuk, hogy az előtti ajánlat azt jelenti, hogy az azt követő, és fordítva.

Az előzetes kijelentéstől kezdve mindegyiknek van ez #x#, #P (x) Q (X) # igaz. A fenti definíciónk azt jelenti, hogy minden #x#, #P (X) # igaz és #Q (X) # igaz. Ez azt jelenti, hogy bárki #x#, #P (X) # igaz és bármilyen #x#, #Q (X) # igaz, ami az után jelenik meg.

Ha az után megjelenő kijelentésből indulunk ki, akkor ezt tudjuk #x#, #P (X) # igaz és bármilyen #x#, #Q (X) # igaz. Akkor mindenkinek #x#, #P (X) # és #Q (X) # mindkettő igaz, jelentése mindenki számára #x#, #P (x) Q (X) # igaz. Ez bizonyítja, hogy az első állítás mindig igaz.

A második állítás hamis. Anélkül, hogy a fentiekben leírt teljes folyamatot lefuttatnánk, egyszerűen megmutathatjuk, hogy az két oldalán lévő két javaslat nem mindig azonos igazságértékkel rendelkezik. Tegyük fel például, hogy az összes lehetséges fele #x#, #P (X) # igaz és #Q (X) # hamis, és a másik felére #Q (X) # igaz és #P (X) # hamis.

Ebben az esetben, mint minden #x#, vagy #P (X) # vagy #Q (X) # igaz, a javaslat #AAx (P (x) Q (x)) # igaz (lásd a fenti descriptions leírásokat). De mivel vannak értékek #x# amelyekre #P (X) # hamis, a javaslat #AAxP (X) # hamis. Hasonlóképpen, #AAxQ (X) # hamis, jelentése is #AAxP (x) AAxQ (X) # hamis.

Mivel a két állításnak különböző igazságértékei vannak, egyértelműen az egyik igazsága nem garantálja a másik igazságát, és így a -hoz való csatlakozás új hamis mondatot eredményez.