Hogyan oldható meg az integráció?

Válasz:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# „Terület” = 117/4 #

Magyarázat:

Q a vonal x-metszete # 2x + y = 15 #

Hogy ezt a pontot megtalálja, hagyja # Y = 0 #

# 2x = 15 #

# X = 15/2 #

Így # Q = (15 / 2,0) #

P a lekötési pont a görbe és a vonal között.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Alatti #(1)# -ba #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

# X = -5 # vagy # X = 3 #

A grafikonból a P x koordinátája pozitív, így elutasíthatjuk # X = -5 #

# X = 3 #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

grafikon {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Most a terület

Ennek a régiónak a teljes területének megkereséséhez két területet találhatunk, és össze is adhatjuk.

Ezek lesznek a terület # Y = x ^ 2 # 0 és 3 között, és a vonal alatt lévő terület 3 és 15/2 között.

# "Terület a görbe alatt" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Az integráció révén tudjuk kidolgozni a vonal területét, de könnyebben kezelhető, mint egy háromszög.

# "Terület a vonal alatt" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "árnyékos terület teljes területe" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Válasz:

3 és 4 esetén

Tom kész 10

Magyarázat:

3

# int_0 ^ 5 f (x) x = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) x # #

#:. int_1 ^ 5 f (x) x = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) x #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Válasz:

Lásd lentebb:

Figyelem: Hosszú válasz!

Magyarázat:

(3) esetén:

A tulajdonság használata:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Ennélfogva:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

(4) esetén:

(Ugyanez)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Azonban meg kell cserélni az integrált határokat, így:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Így:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

10 (a) esetén:

Két funkciónk keresztezi egymást # P #, igen # P #:

# X ^ 2 = -2x + 15 #

(A vonalfüggvényt lejtős-elfogó formába fordítottam)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3) = 0 #

Így # X = 3 # mint mi a jobb oldalon # Y # tengely, így #X> 0 #.

(bevitel # X = 3 # bármelyik funkcióba

# Y = -2x + 15 #

# Y = -2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Tehát a koordináta # P # jelentése #(3,9)#

mert # Q #, a vonal # Y = -2x + 15 # kivágja a # Y #-axis # Y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# X = (15/2) = 7,5 #

Így # Q # található #(7.5, 0)#

10 (b) esetén.

Két integrált építek a terület megtalálásához. Az integrálokat külön megoldom.

A terület:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Első integrál megoldása)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(helyettesítse a határokat az integrált kifejezésre, ne feledje:

Felső alsó határérték az integrál értékének megállapítása

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(a második integrál megoldása)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(helyettesítő határértékek: felső-alsó)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #