Mutassuk meg, hogy ha p, q, r, s valós szám és pr = 2 (q + s), akkor legalább az x ^ 2 + px + q = 0 és x ^ 2 + rx + s = 0 egyenletek közül az egyiknek van igazi gyökerek?

Válasz:

Lásd alább.

A diszkrimináns # X ^ 2 + px + q = 0 # jelentése # Delta_1 = p ^ 2-4q #

és a # X ^ 2 + RX + s = 0 # jelentése # Delta_2 = r ^ 2-4s #

és # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # P ^ 2 + R ^ 2-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2 PR-2 (q + s) #

és ha # Pr = 2 (q + s) #, nekünk van # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Mivel a két diszkrimináns összege pozitív, közülük legalább egy pozitív lenne

és így legalább egy egyenlet # X ^ 2 + px + q = 0 # és # X ^ 2 + RX + s = 0 # igazi gyökerei vannak.