Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Számítsa ki a várt értéket bármely későbbi időpontban t = t_1, a phi_n a végtelen potenciál jól energiafüggvényei. Írja meg a választ E_0 szerint?

Nos, kapok # 14 / # 5E_1… és a választott rendszered miatt nem lehet újra kifejezni # # E_0.

Olyan sok kvantummechanikai szabály van érvényben, mint ebben a kérdésben …

A # # Phi_0, mivel végtelen potenciális megoldásokat használunk, automatikusan eltűnik … #n = 0 #, így #sin (0) = 0 #.

És a kontextusban elengedtük #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

Ez lehetetlen írja a választ # # E_0 mert #n = 0 # NEM létezik a végtelen potenciál számára. Hacsak nem akarod, hogy a részecske legyen eltűnik , Írnom kell # # E_n, #n = 1, 2, 3,… #…
Az energia a mozgás állandója, azaz # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Tehát most…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

A várakozási érték a mozgás állandója, ezért nem érdekel, hogy mikor # # T_1 mi választunk. Ellenkező esetben ez nem konzervatív rendszer …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # néhány #n = 1, 2, 3,… #

Valójában már tudjuk, hogy mi legyen, hiszen a Hamiltoni az egydimenziós végtelen potenciál számára az idő-INDEPENDENT …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

és a # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # menjen az 1-re az integrálban:

#color (kék) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

hol engedtük #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Ismét az összes fázis tényező törlődik, és megjegyezzük, hogy az off-diagonális kifejezések nullára lépnek az ortogonitás miatt. # # Phi_n.

A nevező a # # Psi, ami

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Ebből adódóan, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Ez adja:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) törlés (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) törlés (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) töröl (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) bűn ((2pix) / L) megszünteti (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Alkalmazza a származékokat:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

A konstantok lebegnek:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2m ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

És ez az integrál fizikai okokból ismert, hogy félúton legyen #0# és # L #, független valamitől # N #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2m ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = szín (kék) (14/5 E_1) #

Válasz:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Magyarázat:

Minden álló állapot az energia sajátértéknek felel meg # # E_n felvesz egy fázisfaktorot #e ^ {- iE_n t} # időbeli fejlődés. Az adott állapot nem helyhez kötött állapot - mivel ez a különböző sajátértékekhez tartozó energia-sajátállományok szuperpozíciója. Ennek eredményeként az idő nem triviális módon fejlődik. Azonban az állapotok időbeli alakulását szabályozó Schroedinger-egyenlet lineáris - úgy, hogy minden egyes komponensenergia-sajátfunkció önállóan alakul ki - saját fázisfaktorát felveszi.

Tehát a kezdő hullámfüggvény

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

időben fejlődik # T # nak nek

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Így az energia elvárás értéke időben # T # által adva

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) kalap {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) kalap {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) idők (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

ahol használjuk azt a tényt, hogy a #phi_i (X) # energiafüggvények, így #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Ez még kilenc kifejezést ad nekünk. A végső számítást azonban sokkal egyszerűbb az a tény, hogy az energiafüggvények orto-normalizáltak, azaz engedelmeskednek

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Ez azt jelenti, hogy a kilenc integrál közül csak három él, és mi is

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

A standard eredmény használatával #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, nekünk van # E_1 = 4E_0 # és # E_2 = 9E_0 # egy végtelen potenciál számára (lehet, hogy inkább egy kifejezést használsz, amely azt mondja #E_n propto n ^ 2 # egy végtelen jól - de ezekben a felszíni állapotban van jelölve # # E_1 - Itt jelöljük # # E_0 - ezért a változás). És így

# <E> = (1/6 alkalommal 1 + 1/3 alkalommal 4 + 1/2 alkalommal 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Jegyzet:

Míg az egyéni energiafüggvények időben fejlődnek ki, egy fázisfaktor, a teljes hullámfüggvény felvételével nem különbözik az elsőtől, csak egy fázistényezővel - ezért nem áll helyben.
Az érintett integrálok hasonlóak voltak

# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} id int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

és ezek úgy tűnnek, hogy időfüggőek. Azonban az egyetlen olyan integrál, amely túlél, az # I = j # - és ezek pontosan azok, amelyekre az időfüggőség megszűnik.
Az utolsó eredmények illeszkednek ahhoz, hogy #hat {H} # konzerválva van - bár az állam nem stacionárius állapot - az energia elvárás értéke független az időtől.
Az eredeti hullámfüggvény már normalizálva van # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # és ez a normalizáció az időfejlődésben megmarad.
Sok munkát tudtunk volna csökkenteni, ha standard kvantummechanikai eredményt alkalmaztunk - ha a hullámfüggvényt kibővítik a formában #psi = sum_n c_n phi_n # hol a # # Phi_n egy Hermitian operátor saját funkciói #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, azután # <kalap {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, feltéve, hogy természetesen az államok megfelelően normalizálódnak.